Filosofa.net

Неопозитивизм считает, что математика (логика), в отличие от остальных наук, представляют собой вспомогательный аппарат для осуществления языковых преобразований в науках о фактах. Б.Рассел, например, так говорит о характере математического знания: « .математическое знание не выводится из опыта путем индукции; основание, по которому мы верим, что 2+2=4 не в том, что мы так часто посредством наблюдения находим на опыте, что одна пара вместе с другой парой дает четверку. В этом смысле математическое знание все еще не эмпирическое. Но это и не априорное знание о мире. Это на самом деле просто словесное знание о мире. «3» обозначает «2+1», а «4» означает «3+1». Отсюда следует, что «4» означает то же, что «2+2». Таким образом, математическое знание перестало быть таинственным. Оно имеет такую же природу, как и «великая истина», что в ярде 3 фута» [19; 839].

Однако выделение языка в особую сферу – такая же ошибка, как и выделение в самостоятельную область мышления. Об этом предупреждал К.Маркс почти за сто лет до новейших позитивистских исследований в области логики и математики: «Так же, как философы обособили мышление в самостоятельную силу, так должны были они обособить и язык в некое самостоятельное, особое царство. В этом тайна философского языка, в котором мысли, в форме слов, обладают своим собственным содержанием» [11; 448].

Для диалектического материализма не существует дилеммы: либо признать, что математика сводится к чувственно воспринимаемому, либо считать ее не имеющей никакого отношения к действительности. Диалектический материализм не связывает объективность предмета научного исследования с формой, в которой субъект постигает его. Объективно не только то, что чувственно воспринимаемо, но и то, что находит свое выражение в теоретической форме, несводимой к чувственно воспринимаемому. В.И.Ленин, делая замечания на книге А.Рея «Современная философия», отмечает как безусловно правильную мысль о том, что «…полезность разума тем и объясняется, что выводя предложения из предложений, он вместе с тем выводит друг из друга отношения между фактами природы» [9; 479].

Установление математических фактов, например, не путем эмпирических процедур, как это было в математике древних вавилонян и египтян, а с помощью дедуктивных рассуждений в аксиоматической системе Евклида, совсем не означает, что математика перестает иметь дело с реальностью и погружается в изучение умозрительных сущностей. Различие, которое здесь есть, коренится в отличие эмпирического уровня познания от теоретического, а не в различии объективного от субъективного. Однако решение проблемы объективной ценности математики не сводится к признанию того, что существует некоторое объективное содержание, соответствующее содержанию математических понятий. Главная задача состоит в том, чтобы раскрыть, как это объективное содержание входит в науку.

2. Проблема существования в современной математике.

В современной математике и математической логике весьма живо обсуждается проблема существования в применении к абстрактным объектам. Номинализм и реализм ведут нескончаемые споры о принятии или непринятии абстрактных объектов, причем отказ от их рассмотрения мотивируется тем, что в противном случае мы придем к постулированию мира идей Платона. Те же, кто признают абстрактные объекты, тем не менее, отмежевываются от Платона, заявляя, что их рассмотрение не ведет к онтологии платоновского толка. Неопозитивизм в лице своих виднейших представителей Б.Рассела и Р.Карнапа также неоднократно обращался к рассмотрению проблемы существования.

Эта проблема возникает из осознания невозможности сведения абстрактных математических объектов к единичным чувственно воспринимаемым вещам. Если математические объекты существуют не так, как единичные вещи, то о каком их существовании может идти речь? В каком смысле, например, существуют , n-мерные и бесконечномерные пространства и т. д.

В.И.Ленина интересовал этот вопрос. Конспектируя гегелевские "Лекции по истории философии", В.И.Ленин обращает внимание на то, что еще древние пифагорейцы задумывались над проблемой существования абстрактных математических объектов. "Числа, где они? Отделенные пространством, обитают ли они сами по себе в небе идей? Они не суть непосредственно сами вещи, так как вещь, субстанция есть ведь нечто другое, чем число, - тело не имеет никакого сходства с последним" [9; 225]. На полях В.И.Ленин отмечает важность такой постановки вопроса, наивное недоумением, вызванное действительной трудностью, когда абстрактный объект ставится на очную ставку с чувственно воспринимаемой действительностью.

Представление о самостоятельном существовании математических объектов приводит к ряду трудностей как гносеологического, так и логико-математического характера. Математик как бы оказывается между двумя реальностями - чувственно воспринимаемых вещей и математических объектов. Причем как математик он имеет дело лишь со "второй реальностью", а с чувственно воспринимаемой действительностью соприкасается лишь постольку, поскольку выступает уже просто как человек, который должен пить, есть, отдыхать и т. д.

Некритический подход к проблеме существования таит в себе немалую опасность. Например, немецкий физик Г.Герц не может скрыть своего преклонения перед миром математических объектов: "Невозможно избавиться от ощущения, что эти математические формулы существуют независимо от нас и обладают собственным разумом, что они мудрее нас, мудрее даже тех, кто их открыл, и что мы извлекаем из них больше, чем первоначально было" [12; 112]. Отсюда остается всего один шаг до признания, что "материя исчезает, остаются одни уравнения". [16; 76]

Но привычка обращаться с математическими объектами так, как будто бы это вещи реального мира, существующие независимо от математика, вызывает не только гносеологические, но и логико-математические трудности.

А.Н.Колмогоров в своей статье "Современные споры о природе математики" ("Научное слово", 1929, №6) и Г.Вейль в книге "О философии математики" (М.-Л., 1934) прямо указывают на то, что именно такая привычка обращаться с математическими объектами является источником серьезных затруднений в обосновании и построении математических теорий. Совсем не случайно поэтому появление интуиционистской точки зрения на проблему существования.

Интуиционизм возник как реакция на теоретико-множественную (классическую) концепцию математики.

При наивном понимании проблемы существования в математике, при котором это понятие считается не нуждающимся в каком бы то ни было анализе, интуиционизм избрал главным объектом критики в классической математике понятие актуальной бесконечности и закон исключенного третьего. Отвергая понятие актуальной бесконечности, интуиционизм заменяет понятием потенциальной бесконечности. Что же касается закона исключенного третьего, согласно которому утверждение А и его отрицание не могут быть одновременно истинными и ложными, то интуиционизм считает, что утверждение АÚ может считаться доказанным лишь тогда, когда указан метод, позволяющий выяснить, какое именно из двух суждений А или истинно.

Немецкий математик Л.Кронекер, а также представители парижской школы теории функций Э.Борель и А.Лебег признавали математические объекты существующими независимо от нашего мышления. Но они считали, что об их существовании мы можем судить лишь с помощью построения, благодаря чему они только и становятся познаваемыми для нас. А.Гейтинг называет такую концепцию "полуинтуиционистской" [5; 10]. Собственно же интуиционистская концепция по вопросу о существовании отказывает математическим объектам в каком бы то ни было независимом от мышления существовании и считает, что об их существовании можно утвердительно говорить лишь в том случае, когда они могут быть тем или иным способом построены.