Filosofa.net

Классическая математика не принимает во внимание очевидное различие между двумя следующими определениями натуральных чисел - числа К и числа Е.

"I. К есть наибольшее простое число, такое, что К-1 также простое. Если такого числа нет, то К=1.

II. Е есть наибольшее простое число, такое, что Е-2 также простое. Если такого числа нет, то Е=1." [16; 84]

Для интуиционизма же это различие весьма существенно. Если число К может быть вычислено (К=3), то число Е не вычисляется, так как проблема "близнецов" не разрешена. Поэтому интуиционисты считаю неправильным давать определение натурального числа в форме II и считают, что число определено только тогда, когда дан способ его вычисления. Или в более общей форме: "Существовать" должно означать то же самое, что "быть построенным" [6; 11].

На основе критики классической математики и в то же время как реакция на субъективистскую концепцию интуиционизма возникло также конструктивное направление. Об абстрактных объектах в конструктивной математике рассуждают на основе абстракции потенциальной осуществимости. В соответствии с этой абстракцией в конструктивной математике изучаются не только объекты, уже имеющиеся в наличии, но и возможные (потенциально осуществляемые) объекты. Абстракция актуальной бесконечности как объект математической теории отклоняется в конструктивном направлении.

В конструктивной математике отрицают так называемые «чистые» теоремы существования. Например, в конструктивной теории множеств нет теоремы существования неизмеримого по Лебегу множества. В ней существование бесконечного множества с данными свойствами является однозначным в том случае, если дан способ потенциально осуществимого построения объекта с этими свойствами.

В становлении и развитии конструктивного направления в математике важную роль сыграли работы А. А. Маркова, Н. А. Шанина, П. С. Новикова. Известный советский ученый Н. А. Шанин в работе «О критике классической математики» [20; 284-298] дает конструктивистскую критику классической математики и акцентирует внимание исследователей на том, что многие теоремы классической математики не обладают удовлетворительной связью между ними и эмпирическим материалом в области естествознания.

Предшественником интуиционистской концепции существования в некотором смысле можно считать А.Пуанкаре. Рассматривая вопрос о существовании натурального ряда чисел, А.Пуанкаре высказывал взгляды, близкие к интуиционистским. Например, он считал, что о существовании чисел можно судить лишь с помощью их построения. Но для математических объектов, отличных от натуральных чисел, А.Пуанкаре считал доказательство непротиворечивости доказательством их существования. "В математике существовать может иметь только один смысл, - оно означает устранение от противоречия" [18; 124].

Представление о самостоятельном существовании математических объектов подвергалось критике не только интуиционизмом. Субъективный идеалист Дж.Беркли, чья философия сжато сформулирована в знаменитом афоризме "существовать - значит быть воспринимаемы", рьяно выступал против представления о самостоятельном существовании математических объектов. В своем памфлете "Аналитик, или Рассуждение, адресованное неверующему математику…" Дж.Беркли отрицал существование бесконечно малых величин на том основании, что они чувственно не воспринимаемы. [1; 395]

Б.Рассел начал свою философскую деятельность с идеализма типа Дж.Беркли, но затем изменил свою концепцию под влиянием Д.Мура, который подверг критике философию Дж.Беркли и сформулировал принцип нетождественности объекта восприятию. В своем труде «Принципы математики» Б.Рассел переходит на позиции реализма и высказывает мысль, что нельзя обосновать математику, не признавая математические объекты, существующими независимо от сознания. [16; 87]

Абстрактные объекты не существуют в качестве самостоятельного объекта, стоящего между субъектом и реальным объектом, ибо они являются лишь формами выражения действительности. Сама же действительность выступает не как совокупность единичных фактов, созерцая которые, субъект выделяет то общее, что есть в них, а как сложная, расчлененная внутри себя целостность. Неверно превращать математические средства выражения предмета математики в сам предмет. Абстрактные объекты являются не объектами познания, а тем, что должно быть в голове человека, чтобы можно было в реальной действительности увидеть те или иные аспекты количественных отношений.

Представления, что математика имеет дело с реальной действительностью только через посредство абстрактных объектов, которые понимаются как существующие лишь во внутреннем мире субъекта, замыкает математика в рамки уже идеализированных фрагментов действительности и не может объяснить факта увеличения математического знания. Математическое познание имеет дело не с абстрактными объектами, а с пространственными формами и количественными отношениями действительности. Манипулирование абстрактными объектами в отрыве от объективной реальности не может привести к новым результатам. Абстрактные объекты сами по себе – застывший продукт познания и только обращение к новым аспектам действительности приводит к обогащению математического знания. Все это прекрасно понимал и выразил еще Р.Декарт. В «Правилах для руководства ума» он писал, что «мысля о числе, не нужно делать вывод, будто измеряемая вещь считается исключенной из нашего представления, как это делают те, кто приписывает числам чудесные свойства…». [7; 149]

В этом случае мы сможем по мере надобности обращаться и к другим свойствам предмета, которые еще не выражены в числах. Тот, кто превращает математические средства выражения предмета математики в сам предмет, превращается , по словам Р.Декарта, из математика в счетчика, бессмысленно оперирующего со знаками и символами, загораживающими непроницаемой реальный предмет математики.

А.Гейтинг замечает, что «мы не могли бы сравнивать натуральные числа друг с другом, если бы не фиксировали их какими-либо средствами материального представления, почему они и продолжают существовать после акта их построения» [6; 24].

Абстрактные объекты и есть формы, отлитые предшествующей деятельностью человека в обществе. С точки же зрения каждого отдельного индивида они выступают как независимо от него существующая реальность, а это значит, что человек должен считаться с их природой как и с природой реально существующих вещей. Только в этом смысле и можно говорить об особом существовании абстрактных объектов.

3. Функция как отражение окружающей действительности

Функция представляет собой одно из основных математических понятий XX в., когда функциональному анализу стала принадлежать в математике выдающаяся роль. Но так было не всегда: после введения в математику понятия функции понадобилось более двух столетий, чтобы было осознано его действительное значение для развития математического познания.

Термин “функция” впервые был применен в конце XVII века Лейбницем (1646-1716) и его учениками. Вначале этот термин употребляли еще в очень узком смысле слова, связывая лишь с геометрическими образами. Речь шла об отрезках касательных к кривым, их проекция на оси координат и о “другого рода линиях, выполняющих для данной фигуры некоторую функцию” (от латинского “функтус” - выполнять). Таким образом, понятие функции еще не было освобождено от геометрической формы.

Лишь И. Бернулли дал определение функции, свободное от геометрического языка: “Функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных” [4; 17]. Оно привело в восхищение престарелого Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций.

Определение Бернулли опиралось не только на работы Лейбница и его школы, но и на исследования великого математика и физика Исаака Ньютона (1643-1727), который изучил колоссальный запас самых различных функциональных зависимостей и их свойств. Вместо слова "функция" Ньютон применял термин "ордината". Он сводил изучение геометрических и физических зависимостей к изучению этих "ординат", а сами "ординаты" описывали различными аналитическими выражениями.