Filosofa.net

Чтобы определение функции, данное И.Бернулли, стало полноценным, надо было условиться, какие способы задания функций следует считать допустимыми. Обычно считали, что допускаются функции, заданные выражениями, в которые входят числа, буквы, знаки арифметических действий, возведение в степень и извлечение корней, а также обозначения тригонометрических, обратных тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Такие функции называли элементарными. Вскоре выяснилось, что интегралы от них не всегда выражаются через элементарные функции. В связи с этим пришлось добавить новые функции, получающиеся при вычислении интегралов от элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных операций. Поэтому один из самых замечательных математиков XVIII века Леонард Эйлер (1707-1783) в одной из своих работ пишет: "Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых" [2; 18].

В 1834 году Н.И.Лобачевский писал: "Общее понятие функции требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбрать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной." [11; 284]

Более общий подход к понятию функции, при котором отождествляются понятия "функция", "отображение", "оператор", возник после того, как во второй половине XIX века было введено общее понятие множества. И именно творцы теории множеств Г. Кантор (1845-1918) и Р. Дедекинд (1831-1916) дали общее определение отображения. Его можно сформулировать:

Пусть X и Y - два множества; говорят, что задано отображение f множества X в (на) множество Y, если для каждого элемента x из X указан соответствующий ему единственный элемент y из Y. Этот элемент y называют образом элемента х при отображении f и обозначают f(x). Введение в математику общего понятия об отображении множеств позволило прояснить и ряд вопросов, относящихся к функциям, например, уточнить, что такое обратная функция, сложная функция и т. д.

В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множества возникла новая отрасль математики - теория функций действительного переменного. Она оказала большое влияние на развитие многих других отделов математики

В начале XX века на базе этой теории функций возникла новая ветвь математики - функциональный анализ. В нем изучают множества, состоящие из функций, последовательностей, линий, в которых определены операции сложения и умножения на числа. Эти операции обладают свойствами, похожими на свойства операций над векторами. Однако в отличие от нашего пространства, имеющего лишь три измерения, изучаемые в функциональном анализе, пространства могут быть бесконечномерными. Это не мешает специалистам по функциональному анализу применять в своих исследованиях геометрический язык.

Хотя функциональный анализ кажется очень абстрактной наукой, он находит многочисленные приложения в вычислительной математике, физике, экономике, позволяя с единой точки зрения трактовать самые различные вопросы и вскрывать геометрическую сущность проблем, которые на первый взгляд очень далеки от геометрии. Говоря о связи абстрактной науки с практикой, видный математик Р. Курант (1888-1972) писал:

“Мы стартуем с Земли и, сбросив балласт излишней информации, устремляемся на крыльях абстракции в заоблачные высоты, разреженная атмосфера которых облегчает управление и наблюдение. Затем наступает решающее испытание - приземление; теперь нужно установить, достигнуты ли поставленные цели .” [4; 25]

В XX веке понятие функции подверглось дальнейшим обобщением. Возникло понятие функции, отражавшее свойства физических величин, сосредоточенных в отдельных точках, на линиях или поверхностях. Потребности физики привели к изучению функций, принимавших случайные значения. Но методы математического анализа позволили справиться и с проблемами теории случайных функций, нашедшей многочисленные приложения в физике и технике.

Современная трактовка понятия функции выглядит следующим образом: "функцией называется отношение двух (группы) объектов, в котором изменению одного из них сопутствует изменение другого" [13; 615-616]

Но как бы далеко ни отходило то или иное обобщение понятия функции от определений И.Бернулли и Л.Эйлера, к каким бы сложным объектам оно ни прилагалось, в основе всех построений лежала одна и та же мысль о существовании взаимозависимых величин, знание значения одной из которых позволяет найти значение другой величины.

В результате изучения различных функций в математике появились новые теории. Так немецкий математик Ф.Клейн и французский математик А.Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в которой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Французские математики Э.Пикар, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Э.Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, немецкий математик К.Каратеодори, теорию конформных отображений - советские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин и др. На основе комплексных чисел возникает теория функций комплексного переменного. Общие основы этой теории были заложены О.Коши.

Выше приведенные примеры теорий функции показывают нам важность данного понятия в современной науке. Однако можно сделать ошибочный вывод (в силу множества абстрактных понятий, связанных с функцией) о том, что все эти теории не имеют никаких связей с окружающим миром. В действительности же эти связи имеют более сложные формы. Многие эти теории возникли не из-за запросов естествознания и техники, а из внутренних потребностей самой математики. Т. е. непосредственного отношения к окружающему миру эти теории не имеют. Они играют вспомогательную роль для прикладных наук.

Как мы уже выяснили, понятие «функция» в математике играет значительную роль. Посмотрим теперь на то, какую же роль играет это понятие в философии. Прежде всего следует заметить, что в философских словарях трактовки этого понятия трудно найти. Следовательно, можно сделать вывод, что это понятие в философии играет второстепенную роль. Однако, зависимость между элементами некоторых множеств, - как одна из смысловых сторон «функции», имеет непосредственное отношение к окружающему миру.

В. И. Ленин писал: «Первое, что бросается нам в глаза при рассмотрении мира в целом – это взаимная связь всего существующего» (см. Ленин В.И. Пол. собр. соч. – Т. 20, с. 20).

Но далеко не все связи могут быть отражены в виде функциональных зависимостей (формул). Наиболее наглядно демонстрируют подобные связи в окружающем мире законы физики, которые могут быть записаны в виде формул. Это, например, второй закон Ньютона , закон Гука , законы Кеплера и многие другие законы, отражающие взаимозависимость окружающего мира.

Таким образом, функция, как и любое другое математическое понятие, непосредственно или опосредованно отражает окружающую нас действительность.

Заключение

Таким образом, проблемы реальности и существования в математике имеют неоднозначное истолкование в философии. Вопрос о соотношении понятий и утверждений математики и окружающей действительности был освещен с разных философских позиций. А именно, с точки зрения материализма и субъективного и объективного идеализма, эмпиризма и неопозитивизма. Каждое из вышеперечисленных философских течений имели разные взгляды на разрешение поставленного вопроса.